bpb tritc model

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%22%5D%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20BPB%20Absorption%20vs.%20TRITC%20Bandpass%20%E2%80%94%20Polychromatic%20Beer-Lambert%20Model%0A%0A%20%20%20%20BPB%20(Bromophenol%20Blue)%20absorbance%20varies%20significantly%20across%20the%20TRITC%20bandpass%0A%20%20%20%20(530%E2%80%93590%20nm)%2C%20so%20a%20camera-based%20measurement%20integrates%20transmitted%20light%20over%20a%0A%20%20%20%20range%20of%20wavelengths%20rather%20than%20measuring%20at%20a%20single%20wavelength.%20This%20causes%20the%0A%20%20%20%20measured%20absorbance%20to%20be%20systematically%20lower%20than%20the%20true%20Beer-Lambert%20value%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20an%20effect%20that%20grows%20with%20the%20product%20%24%5Cvarepsilon%20c%20%5Cell%24%20and%20therefore%20depends%20on%0A%20%20%20%20both%20dye%20concentration%20and%20channel%20height.%0A%0A%20%20%20%20This%20notebook%20uses%20an%20idealized%20model%20of%20the%20BPB%20absorption%20spectrum%20and%20TRITC%0A%20%20%20%20bandpass%20to%3A%0A%0A%20%20%20%201.%20Quantify%20the%20polychromatic%20deviation%20from%20Beer-Lambert%20(Jensen's%20inequality)%0A%20%20%20%202.%20Show%20how%20the%20inferred%20effective%20molar%20absorptivity%20%24%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Beff%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20decreases%20with%20concentration%0A%20%20%20%203.%20Estimate%20the%20systematic%20error%20in%20channel%20height%20measurements%20across%20the%20range%0A%20%20%20%20%20%20%20of%20stepped-channel%20heights%20and%20dye%20concentrations%20used%20in%20our%20experiments%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Beer-Lambert%20law%0A%0A%20%20%20%20For%20monochromatic%20light%20at%20wavelength%20%24%5Clambda%24%2C%20the%20Beer-Lambert%20law%20relates%20the%0A%20%20%20%20transmitted%20intensity%20%24I%24%20to%20the%20incident%20intensity%20%24I_0%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24T(%5Clambda)%20%3D%20%5Cfrac%7BI%7D%7BI_0%7D%20%3D%2010%5E%7B-A(%5Clambda)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20the%20**absorbance**%20%24A%24%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24A(%5Clambda)%20%3D%20%5Cvarepsilon(%5Clambda)%5C%2C%20c%5C%2C%20%5Cell%24%24%0A%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cvarepsilon(%5Clambda)%24%20%E2%80%94%20molar%20absorptivity%20at%20wavelength%20%24%5Clambda%24%0A%20%20%20%20%20%20%24%5B%5Ctext%7BL%7D%5C%2C%5Ctext%7Bmol%7D%5E%7B-1%7D%5C%2C%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D%5E%7B-1%7D%5D%24%0A%20%20%20%20-%20%24c%24%20%E2%80%94%20dye%20concentration%20%24%5B%5Ctext%7Bmol%7D%5C%2C%5Ctext%7BL%7D%5E%7B-1%7D%5D%24%0A%20%20%20%20-%20%24%5Cell%24%20%E2%80%94%20optical%20path%20length%20%24%5B%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D%5D%24%0A%0A%20%20%20%20Because%20%24A%24%20is%20proportional%20to%20both%20%24c%24%20and%20%24%5Cell%24%2C%20a%20change%20in%20concentration%20is%0A%20%20%20%20equivalent%20to%20a%20proportional%20change%20in%20path%20length.%20The%20measured%20absorbance%20is%0A%20%20%20%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%20%3D%20-%5Clog_%7B10%7D(T)%24.%0A%0A%20%20%20%20**In%20this%20model**%20%24%5Cvarepsilon(%5Clambda)%24%20is%20treated%20as%20known%20and%20fixed%3B%20BPB%20has%0A%20%20%20%20a%20broad%20absorption%20peak%20that%20varies%20significantly%20across%20the%20TRITC%20bandpass%0A%20%20%20%20(530%E2%80%93590%20nm)%2C%20so%20a%20detector%20that%20integrates%20over%20that%20band%20does%20not%20measure%0A%20%20%20%20a%20simple%20single-wavelength%20%24A%24.%20The%20sections%20below%20quantify%20that%20effect%20**for%0A%20%20%20%20an%20*IDEALIZED*%20BPB%20absorption%20spectrum%20and%20TRITC%20bandpass**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Idealized%20BPB%20absorbance%20and%20TRITC%20bandpass%0A%0A%20%20%20%20We%20model%20the%20TRITC%20bandpass%20as%20unity%20transmittance%20between%20530%20nm%20and%20590%20nm%20and%20zero%20outside%20this%20range%20and%20BPB%20absorbance%20as%20linearly%20increasing%20across%20this%20wavelength%20range%20and%20assume%20a%20path%20length%20of%20100%20%26mu%3Bm%2C%20which%20is%20commensurate%20with%20what%20can%20be%20measured%20in%20a%20Nanodrop%20instrument.%20See%20%5BBPB%20and%20TRITC%20filter%20spectra%5D(https%3A%2F%2Fnordinlab.org%2Fmarimo%2F2026-08-04_urea_assay_BPB_dye_spectra%2F)%20for%20actual%20measured%20spectra.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(np)%3A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Wavelength%20grid%0A%20%20%20%20WL%20%3D%20np.linspace(480%2C%20640%2C%201000)%20%20%20%23%20nm%0A%0A%20%20%20%20%23%20TRITC%20bandpass%3A%20rectangular%2C%201.0%20from%20530%E2%80%93590%20nm%0A%20%20%20%20BP_LO%2C%20BP_HI%20%3D%20530.0%2C%20590.0%0A%20%20%20%20bandpass%20%3D%20np.where((WL%20%3E%3D%20BP_LO)%20%26%20(WL%20%3C%3D%20BP_HI)%2C%201.0%2C%200.0)%0A%0A%20%20%20%20%23%20BPB%20absorbance%20at%20L%20%3D%20100%20%C2%B5m%3A%20linear%20from%200.1%20at%20530%20nm%20to%200.5%20at%20590%20nm%0A%20%20%20%20L_UM%20%3D%20100.0%20%20%20%23%20%C2%B5m%0A%20%20%20%20A_LO%2C%20A_HI%20%3D%200.07%2C%200.4%0A%20%20%20%20absorbance%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(WL%20%3E%3D%20BP_LO)%20%26%20(WL%20%3C%3D%20BP_HI)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A_LO%20%2B%20(A_HI%20-%20A_LO)%20*%20(WL%20-%20BP_LO)%20%2F%20(BP_HI%20-%20BP_LO)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.nan%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20A_HI%2C%20A_LO%2C%20BP_HI%2C%20BP_LO%2C%20L_UM%2C%20WL%2C%20absorbance%2C%20bandpass%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_HI%2C%20A_LO%2C%20BP_HI%2C%20BP_LO%2C%20WL%2C%20absorbance%2C%20bandpass%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20fig%2C%20ax1%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%20axis%3A%20absorbance%0A%20%20%20%20color_abs%20%3D%20%22steelblue%22%0A%20%20%20%20ax1.plot(WL%2C%20absorbance%2C%20color%3Dcolor_abs%2C%20lw%3D2%2C%20label%3Df%22BPB%20absorbance%20(L%3D100%20%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20ax1.set_xlabel(%22Wavelength%20(nm)%22)%0A%20%20%20%20ax1.set_ylabel(%22Absorbance%20%20A(%CE%BB)%22%2C%20color%3Dcolor_abs)%0A%20%20%20%20ax1.tick_params(axis%3D%22y%22%2C%20labelcolor%3Dcolor_abs)%0A%20%20%20%20ax1.set_ylim(0%2C%200.8)%0A%20%20%20%20ax1.annotate(f%22%7BA_LO%7D%22%2C%20(BP_LO%2C%20A_LO)%2C%20textcoords%3D%22offset%20points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(-28%2C%206)%2C%20fontsize%3D8%2C%20color%3Dcolor_abs)%0A%20%20%20%20ax1.annotate(f%22%7BA_HI%7D%22%2C%20(BP_HI%2C%20A_HI)%2C%20textcoords%3D%22offset%20points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(4%2C%20-10)%2C%20fontsize%3D8%2C%20color%3Dcolor_abs)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%20axis%3A%20bandpass%0A%20%20%20%20color_bp%20%3D%20%22tomato%22%0A%20%20%20%20ax2%20%3D%20ax1.twinx()%0A%20%20%20%20ax2.fill_between(WL%2C%20bandpass%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3Dcolor_bp)%0A%20%20%20%20ax2.plot(WL%2C%20bandpass%2C%20color%3Dcolor_bp%2C%20lw%3D1.5%2C%20label%3D%22TRITC%20bandpass%22)%0A%20%20%20%20ax2.set_ylabel(%22TRITC%20bandpass%20transmission%22%2C%20color%3Dcolor_bp)%0A%20%20%20%20ax2.tick_params(axis%3D%22y%22%2C%20labelcolor%3Dcolor_bp)%0A%20%20%20%20ax2.set_ylim(0%2C%202.5)%20%20%20%20%23%20push%20fill%20to%20bottom%20third%20so%20it%20doesn't%20crowd%20the%20absorbance%20curve%0A%0A%20%20%20%20%23%20Legend%0A%20%20%20%20lines1%2C%20labels1%20%3D%20ax1.get_legend_handles_labels()%0A%20%20%20%20lines2%2C%20labels2%20%3D%20ax2.get_legend_handles_labels()%0A%20%20%20%20ax1.legend(lines1%20%2B%20lines2%2C%20labels1%20%2B%20labels2%2C%20loc%3D%22upper%20left%22%2C%20fontsize%3D9)%0A%0A%20%20%20%20ax1.set_xlim(WL%5B0%5D%2C%20WL%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20ax1.axvline(BP_LO%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20ax1.axvline(BP_HI%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20ax1.set_title(%22BPB%20absorbance%20and%20TRITC%20bandpass%20vs.%20wavelength%22)%0A%20%20%20%20fig%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Polychromatic%20transmittance%0A%0A%20%20%20%20For%20**monochromatic**%20light%20at%20wavelength%20%CE%BB%2C%20Beer-Lambert%20gives%20the%20transmitted%20fraction%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24T(%5Clambda)%20%3D%2010%5E%7B-A(%5Clambda)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20A%20detector%20with%20bandpass%20filter%20%24F(%5Clambda)%24%20and%20spectrally%20flat%20illumination%20measures%20the%0A%20%20%20%20ratio%20of%20integrated%20transmitted%20to%20incident%20power%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24T_%5Ctext%7Bpoly%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cdisplaystyle%5Cint%20F(%5Clambda)%5C%2C10%5E%7B-A(%5Clambda)%7D%5C%2Cd%5Clambda%7D%7B%5Cdisplaystyle%5Cint%20F(%5Clambda)%5C%2Cd%5Clambda%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20our%20rectangular%20bandpass%20%24F(%5Clambda)%3D1%24%20on%20%24%5B530%2C%20590%5D%24%20nm%20and%200%20outside%2C%20this%20reduces%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7BT_%5Ctext%7Bpoly%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B60%5C%2C%5Ctext%7Bnm%7D%7D%5Cint_%7B530%7D%5E%7B590%7D%2010%5E%7B-A(%5Clambda)%7D%5C%2Cd%5Clambda%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20measured%20absorbance%20is%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%20%3D%20-%5Clog_%7B10%7D(T_%5Ctext%7Bpoly%7D)%24.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Convexity%20and%20Jensen's%20inequality%0A%0A%20%20%20%20A%20function%20%24f(x)%24%20is%20**convex**%20if%20it%20curves%20upward%20everywhere%20%E2%80%94%20that%20is%2C%20any%20chord%20connecting%0A%20%20%20%20two%20points%20on%20the%20graph%20lies%20*above%20or%20on*%20the%20graph%20between%20those%20points%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24f%5C!%5Cbigl(%5Calpha%20x_1%20%2B%20(1-%5Calpha)%20x_2%5Cbigr)%20%5C%3B%5Cleq%5C%3B%20%5Calpha%5C%2C%20f(x_1)%20%2B%20(1-%5Calpha)%5C%2C%20f(x_2)%0A%20%20%20%20%5Cquad%20%5Ctext%7Bfor%20all%20%7D%20%5Calpha%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20function%20%24f(A)%20%3D%2010%5E%7B-A%7D%24%20is%20convex%20in%20%24A%24%20because%20its%20second%20derivative%0A%20%20%20%20%24f''(A)%20%3D%20(%5Cln%2010)%5E2%5C%2C%2010%5E%7B-A%7D%20%3E%200%24%20everywhere%20%E2%80%94%20it%20is%20an%20exponential%20that%0A%20%20%20%20bends%20upward%20(%E2%88%AA%20shape)%2C%20so%20chords%20always%20lie%20above%20the%20curve.%0A%0A%20%20%20%20**Jensen's%20inequality**%20states%20that%20for%20any%20convex%20function%20%24f%24%20and%20any%20average%20%24%5Clangle%5Ccdot%5Crangle%24%0A%20%20%20%20over%20a%20distribution%20of%20values%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24f%5C!%5Cbigl(%5Clangle%20x%20%5Crangle%5Cbigr)%20%5C%3B%5Cleq%5C%3B%20%5Cbigl%5Clangle%20f(x)%20%5Cbigr%5Crangle%24%24%0A%0A%20%20%20%20*The%20function%20evaluated%20at%20the%20mean%20is%20less%20than%20or%20equal%20to%20the%20mean%20of%20the%20function.*%0A%0A%20%20%20%20Applied%20to%20%24f(A)%20%3D%2010%5E%7B-A%7D%24%20and%20the%20absorbance%20values%20across%20the%20bandpass%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%2410%5E%7B-%5Clangle%20A(%5Clambda)%5Crangle%7D%20%5C%3B%5Cleq%5C%3B%20%5Cbigl%5Clangle%2010%5E%7B-A(%5Clambda)%7D%5Cbigr%5Crangle%20%3D%20T_%5Ctext%7Bpoly%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20so%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%20%3D%20-%5Clog_%7B10%7D(T_%5Ctext%7Bpoly%7D)%20%5Cleq%20%5Cbar%7BA%7D%24%20%E2%80%94%20the%20measured%20absorbance%20is%20always%0A%20%20%20%20**less**%20than%20the%20bandpass-averaged%20absorbance.%20The%20detector%20integrates%20over%20all%20wavelengths%2C%0A%20%20%20%20and%20the%20weakly-absorbed%20wavelengths%20(high%20%24T%24)%20pull%20the%20integrated%20transmittance%20above%20what%0A%20%20%20%20a%20single-wavelength%20Beer-Lambert%20calculation%20would%20predict.%0A%20%20%20%20This%20causes%20an%20underestimate%20of%20path%20length%20(or%20concentration)%20that%20grows%20with%20%24L%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_HI%2C%20A_LO%2C%20BP_HI%2C%20BP_LO%2C%20WL%2C%20absorbance%2C%20np)%3A%0A%0A%20%20%20%20%23%20Monochromatic%20transmittance%20at%20each%20wavelength%20within%20the%20bandpass%0A%20%20%20%20T_lambda%20%3D%20np.where((WL%20%3E%3D%20BP_LO)%20%26%20(WL%20%3C%3D%20BP_HI)%2C%2010**(-absorbance)%2C%20np.nan)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Polychromatic%20transmittance%3A%20integral%20of%20T(lambda)%20over%20bandpass%20%2F%20bandwidth%0A%20%20%20%20_mask%20%20%3D%20(WL%20%3E%3D%20BP_LO)%20%26%20(WL%20%3C%3D%20BP_HI)%0A%20%20%20%20T_poly%20%3D%20np.trapezoid(T_lambda%5B_mask%5D%2C%20WL%5B_mask%5D)%20%2F%20(BP_HI%20-%20BP_LO)%0A%20%20%20%20A_poly%20%3D%20-np.log10(T_poly)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Comparison%3A%20naive%20Beer-Lambert%20using%20the%20mean%20absorbance%0A%20%20%20%20A_mean%20%20%3D%20(A_LO%20%2B%20A_HI)%20%2F%202%0A%20%20%20%20T_naive%20%3D%2010**(-A_mean)%0A%0A%20%20%20%20print(f%22A%20range%20in%20bandpass%3A%20%20%7BA_LO%3A.2f%7D%20to%20%7BA_HI%3A.2f%7D%20%20(mean%20%7BA_mean%3A.4f%7D)%22)%0A%20%20%20%20print(f%22T%20range%20in%20bandpass%3A%20%20%7B10**(-A_LO)%3A.4f%7D%20to%20%7B10**(-A_HI)%3A.4f%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22T_poly%20(integrated)%3A%20%20%7BT_poly%3A.6f%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22T_naive%20(10%5E-A_mean)%3A%20%7BT_naive%3A.6f%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22A_poly%20%20(measured)%3A%20%20%20%7BA_poly%3A.6f%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22A_naive%20(mean%20A)%3A%20%20%20%20%20%7BA_mean%3A.6f%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22Underestimate%3A%20%20%20%20%20%20%20%20%7BA_mean%20-%20A_poly%3A.6f%7D%20%20(%7B100*(A_mean-A_poly)%2FA_mean%3A.2f%7D%25)%22)%0A%20%20%20%20return%20A_mean%2C%20A_poly%2C%20T_lambda%2C%20T_naive%2C%20T_poly%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_mean%2C%20A_poly%2C%20BP_HI%2C%20BP_LO%2C%20L_UM%2C%20T_lambda%2C%20T_naive%2C%20T_poly%2C%20WL%2C%20plt)%3A%0A%0A%20%20%20%20_mask%20%20%20%20%3D%20(WL%20%3E%3D%20BP_LO)%20%26%20(WL%20%3C%3D%20BP_HI)%0A%20%20%20%20_wl_band%20%3D%20WL%5B_mask%5D%0A%0A%20%20%20%20fig2%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20T(lambda)%20curve%0A%20%20%20%20ax.fill_between(_wl_band%2C%20T_lambda%5B_mask%5D%2C%20alpha%3D0.15%2C%20color%3D%22steelblue%22)%0A%20%20%20%20ax.plot(_wl_band%2C%20T_lambda%5B_mask%5D%2C%20color%3D%22steelblue%22%2C%20lw%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24T(%5Clambda)%3D10%5E%7B-A(%5Clambda)%7D%24%20(monochromatic)%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20T_poly%20horizontal%20line%0A%20%20%20%20ax.axhline(T_poly%2C%20%20color%3D%22tomato%22%2C%20%20%20lw%3D1.8%2C%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24T_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bpoly%7D%7D%7D%7D%3D%7BT_poly%3A.4f%7D%24%20%E2%86%92%20%24A_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bmeas%7D%7D%7D%7D%3D%7BA_poly%3A.4f%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax.axhline(T_naive%2C%20color%3D%22seagreen%22%2C%20lw%3D1.8%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24T_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7Bnaive%7D%7D%7D%7D%3D10%5E%7B%7B-%5C%5Cbar%7B%7BA%7D%7D%7D%7D%3D%7BT_naive%3A.4f%7D%24%20%E2%86%92%20%24%5C%5Cbar%7B%7BA%7D%7D%3D%7BA_mean%3A.4f%7D%24%22)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Bandpass%20edges%0A%20%20%20%20ax.axvline(BP_LO%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20ax.axvline(BP_HI%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%0A%20%20%20%20ax.set_xlabel(%22Wavelength%20(nm)%22)%0A%20%20%20%20ax.set_ylabel(r%22Transmittance%20%24T(%5Clambda)%24%22)%0A%20%20%20%20ax.set_xlim(WL%5B0%5D%2C%20WL%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20ax.set_ylim(0%2C%201.0)%0A%20%20%20%20ax.legend(fontsize%3D8.5%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20ax.set_title(f%22Polychromatic%20vs.%20naive%20transmittance%20%20(L%20%3D%20%7BL_UM%3A.0f%7D%20%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20fig2%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Simulated%20concentration%20series%0A%0A%20%20%20%20Translate%20the%20model%20absorbance%20(defined%20at%20%24L%3D100%5C%2C%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D%24)%20to%20the%2080%20%C2%B5m%0A%20%20%20%20capillary%20used%20in%20the%202026-08-21%20experiment%2C%20then%20apply%20the%20same%20Beer-Lambert%0A%20%20%20%20analysis%20for%20each%20concentration%20fraction%20%24f%20%5Cin%20%5C%7B1%2F8%2C%5C%2C1%2F4%2C%5C%2C1%2F2%2C%5C%2C1%5C%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24A(f%2C%5Clambda)%20%3D%20f%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B80%7D%7B100%7D%20%5Ctimes%20A_%7B100%5C%25%2C%5C%2C100%5C%2C%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D%7D(%5Clambda)%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20polychromatic%20transmittance%20integrates%20this%20over%20the%20TRITC%20bandpass%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D(f)%20%3D%20-%5Clog_%7B10%7D%5C!%5Cleft%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B60%5C%2C%5Ctext%7Bnm%7D%7D%5Cint_%7B530%7D%5E%7B590%7D%0A%20%20%20%2010%5E%7B-A(f%2C%5Clambda)%7D%5C%2Cd%5Clambda%5Cright%5D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20naive%20(monochromatic)%20prediction%20%24A_%5Ctext%7Bnaive%7D(f)%20%3D%20f%20%5Ctimes%20%5Ctfrac%7B80%7D%7B100%7D%0A%20%20%20%20%5Ctimes%20%5Cbar%7BA%7D_%7B100%5C%25%2C%5C%2C100%5C%2C%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D%7D%24%20is%20perfectly%20linear%20in%20%24f%24.%0A%20%20%20%20The%20polychromatic%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%24%20is%20always%20smaller%2C%20and%20the%20deviation%20grows%0A%20%20%20%20at%20higher%20concentrations%2C%20exactly%20as%20seen%20in%20the%202026-08-21%20data.%0A%0A%20%20%20%20The%20table%20and%20right-hand%20plot%20report%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Bnorm%7D%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Beff%7D%7D%7B%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Btrue%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7BA_%5Ctext%7Bmeas%7D%7D%7BA_%5Ctext%7Bnaive%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20the%20ratio%20of%20the%20apparent%20molar%20absorptivity%20(inferred%20from%20the%20polychromatic%0A%20%20%20%20measurement)%20to%20the%20true%20monochromatic%20value.%20It%20equals%201%20with%20no%20polychromatic%0A%20%20%20%20effect%2C%20and%20falls%20below%201%20%E2%80%94%20increasingly%20so%20at%20higher%20concentrations%20%E2%80%94%20as%20the%0A%20%20%20%20strongly-absorbed%20long%20wavelengths%20are%20depleted%20relative%20to%20the%20weakly-absorbed%0A%20%20%20%20short%20wavelengths.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_HI%2C%20A_LO%2C%20A_mean%2C%20BP_HI%2C%20BP_LO%2C%20L_UM%2C%20WL%2C%20absorbance%2C%20np)%3A%0A%0A%20%20%20%20FRACS%20%20%20%3D%20np.array(%5B1%2F8%2C%201%2F4%2C%201%2F2%2C%201.0%5D)%0A%20%20%20%20L_CAP%20%20%20%3D%2080.0%20%20%20%20%23%20capillary%20path%20length%20in%20%C2%B5m%20(2026-08-21%20experiment)%0A%20%20%20%20_scale%20%20%3D%20L_CAP%20%2F%20L_UM%20%20%20%23%20%3D%2080%2F100%3B%20rescales%20model%20absorbance%20from%20100%20%C2%B5m%20to%2080%20%C2%B5m%0A%0A%20%20%20%20%23%20Wavelength%20grid%20with%20exact%20endpoints%20at%20bandpass%20boundaries%0A%20%20%20%20_mask%20%20%20%20%20%3D%20(WL%20%3E%20BP_LO)%20%26%20(WL%20%3C%20BP_HI)%0A%20%20%20%20_wl_full%20%20%3D%20np.concatenate(%5B%5BBP_LO%5D%2C%20WL%5B_mask%5D%2C%20%5BBP_HI%5D%5D)%0A%20%20%20%20_abs_full%20%3D%20np.concatenate(%5B%5BA_LO%5D%2C%20%20absorbance%5B_mask%5D%2C%20%5BA_HI%5D%5D)%20%20%23%20A%20at%20100%25%2C%20L%3D100%20%C2%B5m%0A%0A%20%20%20%20_A_poly%20%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20_A_naive%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_frac%20in%20FRACS%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_A_scaled%20%3D%20_frac%20*%20_scale%20*%20_abs_full%20%20%20%23%20A(f%2C%20lambda)%20at%20L%3D80%20%C2%B5m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_Tp%20%3D%20np.trapezoid(10**(-_A_scaled)%2C%20_wl_full)%20%2F%20(BP_HI%20-%20BP_LO)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_A_poly.append(-np.log10(_Tp))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_A_naive.append(_frac%20*%20_scale%20*%20A_mean)%0A%0A%20%20%20%20A_poly_arr%20%20%3D%20np.array(_A_poly)%0A%20%20%20%20A_naive_arr%20%3D%20np.array(_A_naive)%0A%20%20%20%20eps_norm%20%20%20%20%3D%20A_poly_arr%20%2F%20A_naive_arr%0A%0A%20%20%20%20print(f%22L_CAP%3D%7BL_CAP%3A.0f%7D%20%C2%B5m%20%20(model%20L%3D%7BL_UM%3A.0f%7D%20%C2%B5m%20%20%E2%86%92%20%20scale%3D%7B_scale%3A.2f%7D)%22)%0A%20%20%20%20print(f%22%7B'frac'%3A%3E6%7D%20%20%7B'A_poly'%3A%3E8%7D%20%20%7B'A_naive'%3A%3E8%7D%20%20%7B'eps_norm'%3A%3E9%7D%22)%0A%20%20%20%20for%20_f%2C%20_ap%2C%20_an%2C%20_en%20in%20zip(FRACS%2C%20A_poly_arr%2C%20A_naive_arr%2C%20eps_norm)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7B_f%3A6.4f%7D%20%20%7B_ap%3A8.4f%7D%20%20%7B_an%3A8.4f%7D%20%20%7B_en%3A9.4f%7D%22)%0A%20%20%20%20return%20A_naive_arr%2C%20A_poly_arr%2C%20FRACS%2C%20L_CAP%2C%20eps_norm%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_naive_arr%2C%20A_poly_arr%2C%20FRACS%2C%20eps_norm%2C%20plt)%3A%0A%0A%20%20%20%20_labels%20%3D%20%5B%221%2F8%22%2C%20%221%2F4%22%2C%20%221%2F2%22%2C%20%221%2F1%22%5D%0A%0A%20%20%20%20fig3%2C%20(ax_a%2C%20ax_e)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%3A%20absorbance%20vs%20concentration%20fraction%0A%20%20%20%20ax_a.plot(FRACS%2C%20A_naive_arr%2C%20%22o--%22%2C%20color%3D%22seagreen%22%2C%20lw%3D1.8%2C%20ms%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Naive%20Beer-Lambert%20%20%24A_%5Cmathrm%7Bnaive%7D%20%3D%20f%5C%2C%5Cbar%7BA%7D_%7B100%5C%25%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_a.plot(FRACS%2C%20A_poly_arr%2C%20%20%22s-%22%2C%20%20color%3D%22tomato%22%2C%20%20%20lw%3D1.8%2C%20ms%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Polychromatic%20%20%24A_%5Cmathrm%7Bmeas%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_a.set_xlabel(%22Concentration%20fraction%20%24f%24%22)%0A%20%20%20%20ax_a.set_ylabel(%22Absorbance%22)%0A%20%20%20%20ax_a.set_xticks(FRACS)%0A%20%20%20%20ax_a.set_xticklabels(_labels)%0A%20%20%20%20ax_a.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20ax_a.set_title(%22Absorbance%20vs.%20concentration%22)%0A%20%20%20%20ax_a.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20ax_a.set_ylim(0%2C%20None)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%3A%20apparent%20eps_eff%20relative%20to%20true%20eps%0A%20%20%20%20ax_e.plot(FRACS%2C%20eps_norm%2C%20%22D-%22%2C%20color%3D%22steelblue%22%2C%20lw%3D1.8%2C%20ms%3D7)%0A%20%20%20%20ax_e.axhline(1.0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D0.9%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3D%22True%20%24%5C%5Cvarepsilon%24%20(no%20polychromatic%20effect)%22)%0A%20%20%20%20ax_e.set_xlabel(%22Concentration%20fraction%20%24f%24%22)%0A%20%20%20%20ax_e.set_ylabel(r%22%24%5Cvarepsilon_%5Cmathrm%7Beff%7D%5C%2C%2F%5C%2C%5Cvarepsilon_%5Cmathrm%7Btrue%7D%24%22)%0A%20%20%20%20ax_e.set_xticks(FRACS)%0A%20%20%20%20ax_e.set_xticklabels(_labels)%0A%20%20%20%20ax_e.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20ax_e.set_title(r%22Apparent%20%24%5Cvarepsilon_%5Cmathrm%7Beff%7D%24%20relative%20to%20true%20value%22)%0A%20%20%20%20ax_e.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20fig3.suptitle(%22Polychromatic%20Beer-Lambert%20effect%20%E2%80%94%20simulated%20concentration%20series%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20fig3%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Effective%20molar%20absorptivity%20from%20polychromatic%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%24%0A%0A%20%20%20%20Inverting%20Beer-Lambert%20with%20the%20polychromatic%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%24%20gives%20the%0A%20%20%20%20**effective**%20molar%20absorptivity%20that%20an%20experimenter%20would%20infer%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Beff%7D(f)%20%3D%20%5Cfrac%7BA_%5Ctext%7Bmeas%7D(f)%7D%7Bc(f)%5C%2C%5Cell%7D%0A%20%20%20%20%3D%20%5Cfrac%7BA_%5Ctext%7Bmeas%7D(f)%7D%7Bf%20%5Ccdot%20C_%5Ctext%7Bstock%7D%20%5Ccdot%2080%5C%2C%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20using%20the%20same%20stock%20solution%20as%20the%202026-08-21%20capillary%20experiment%3A%0A%20%20%20%20%24C_%5Ctext%7Bstock%7D%20%3D%200.5%5C%2C%5Ctext%7Bg%2FL%7D%20%5Cdiv%20669.96%5C%2C%5Ctext%7Bg%2Fmol%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20Because%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%20%3C%20A_%5Ctext%7Bnaive%7D%24%20at%20every%20concentration%20(polychromatic%0A%20%20%20%20effect)%2C%20%24%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Beff%7D%24%20underestimates%20the%20true%20%24%5Cvarepsilon%24%20and%0A%20%20%20%20decreases%20as%20concentration%20increases.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_naive_arr%2C%20A_poly_arr%2C%20FRACS%2C%20L_CAP%2C%20np)%3A%0A%0A%20%20%20%20BPB_MW%20%20%20%3D%20669.96%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20g%2Fmol%20(free%20acid%2C%20C19H10Br4O5S)%0A%20%20%20%20C_STOCK%20%20%3D%200.5%20%2F%20BPB_MW%20%20%20%20%20%20%20%23%20mol%2FL%20%20(0.05%25%20w%2Fv%20%3D%200.5%20g%2FL)%0A%20%20%20%20CONCS%20%20%20%20%3D%20FRACS%20*%20C_STOCK%20%20%20%20%20%23%20mol%2FL%20for%20each%20fraction%0A%20%20%20%20CONCS_mM%20%3D%20CONCS%20*%201000%20%20%20%20%20%20%20%23%20mM%0A%0A%20%20%20%20eps_eff_arr%20%20%3D%20A_poly_arr%20%2F%20(CONCS%20*%20L_CAP)%20%20%20%23%20L%2F(mol%C2%B7%C2%B5m)%0A%20%20%20%20eps_true_arr%20%3D%20A_naive_arr%20%2F%20(CONCS%20*%20L_CAP)%20%20%23%20true%20eps%20(same%20for%20all%20f%20by%20construction)%0A%20%20%20%20eps_eff_mean%20%3D%20float(np.mean(eps_eff_arr))%0A%0A%20%20%20%20print(f%22C_stock%20%3D%20%7BC_STOCK*1000%3A.4f%7D%20mM%2C%20%20L_CAP%20%3D%20%7BL_CAP%3A.0f%7D%20%C2%B5m%22)%0A%20%20%20%20print(f%22%7B'frac'%3A%3E6%7D%20%20%7B'c%20(mM)'%3A%3E8%7D%20%20%7B'A_meas'%3A%3E8%7D%20%20%7B'eps_eff%20(L%2Fmol%2F%C2%B5m)'%3A%3E20%7D%22)%0A%20%20%20%20for%20_f%2C%20_c%2C%20_ap%2C%20_e%20in%20zip(FRACS%2C%20CONCS_mM%2C%20A_poly_arr%2C%20eps_eff_arr)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20print(f%22%7B_f%3A6.4f%7D%20%20%7B_c%3A8.4f%7D%20%20%7B_ap%3A8.4f%7D%20%20%7B_e%3A20.4f%7D%22)%0A%20%20%20%20print(f%22%5Cneps_eff%20mean%20%3D%20%7Beps_eff_mean%3A.4f%7D%20%20L%2F(mol%C2%B7%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20print(f%22eps_true%20%20%20%20%20%3D%20%7Beps_true_arr%5B0%5D%3A.4f%7D%20%20L%2F(mol%C2%B7%C2%B5m)%20%20(constant%20by%20construction)%22)%0A%20%20%20%20return%20CONCS%2C%20CONCS_mM%2C%20eps_eff_arr%2C%20eps_eff_mean%2C%20eps_true_arr%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(CONCS_mM%2C%20eps_eff_arr%2C%20eps_eff_mean%2C%20eps_true_arr%2C%20plt)%3A%0A%0A%20%20%20%20_labels%20%3D%20%5B%221%2F8%22%2C%20%221%2F4%22%2C%20%221%2F2%22%2C%20%221%2F1%22%5D%0A%0A%20%20%20%20fig4%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_ax.plot(CONCS_mM%2C%20eps_eff_arr%2C%20%22s-%22%2C%20color%3D%22tomato%22%2C%20lw%3D1.8%2C%20ms%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Cvarepsilon_%5Cmathrm%7Beff%7D%24%20(from%20polychromatic%20%24A_%5Cmathrm%7Bmeas%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(eps_true_arr%5B0%5D%2C%20color%3D%22seagreen%22%2C%20lw%3D1.5%2C%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Cvarepsilon_%5Cmathrm%7Btrue%7D%24%20(monochromatic)%22)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(eps_eff_mean%2C%20color%3D%22steelblue%22%2C%20lw%3D1.2%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22%24%5C%5Cvarepsilon_%5C%5Cmathrm%7B%7Beff%7D%7D%24%20mean%20%3D%20%7Beps_eff_mean%3A.4f%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20for%20_x%2C%20_y%2C%20_lbl%20in%20zip(CONCS_mM%2C%20eps_eff_arr%2C%20_labels)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(f%22f%3D%7B_lbl%7D%22%2C%20(_x%2C%20_y)%2C%20textcoords%3D%22offset%20points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(6%2C%204)%2C%20fontsize%3D8%2C%20color%3D%22tomato%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax.set_xlabel(%22Concentration%20(mM)%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylabel(r%22%24%5Cvarepsilon_%5Cmathrm%7Beff%7D%24%20%20%5BL%20mol%24%5E%7B-1%7D%24%20%C2%B5m%24%5E%7B-1%7D%24%5D%22)%0A%20%20%20%20_ax.set_title(r%22Polychromatic%20%24%5Cvarepsilon_%5Cmathrm%7Beff%7D%24%20vs.%20concentration%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22(%24%5Cell%20%3D%2080%5C%2C%5Cmu%5Cmathrm%7Bm%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20fig4%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Polychromatic%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%24%20vs.%20channel%20height%20and%20concentration%0A%0A%20%20%20%20For%20each%20combination%20of%20stepped-channel%20height%20%24%5Cell%24%20and%20concentration%20fraction%20%24f%24%2C%0A%20%20%20%20scale%20the%20model%20absorbance%20by%20%24f%20%5Ctimes%20(%5Cell%20%2F%20100%5C%2C%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D)%24%20and%20integrate%0A%20%20%20%20over%20the%20TRITC%20bandpass%20to%20get%20the%20polychromatic%20measured%20absorbance%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D(f%2C%20%5Cell)%20%3D%20-%5Clog_%7B10%7D%5C!%5Cleft%5B%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B60%5C%2C%5Ctext%7Bnm%7D%7D%5Cint_%7B530%7D%5E%7B590%7D%2010%5E%7B-f%5C%2C(%5Cell%2F100)%5C%2CA_%7B100%5C%25%2C100%5C%2C%5Cmu%5Ctext%7Bm%7D%7D(%5Clambda)%7D%5C%2Cd%5Clambda%0A%20%20%20%20%5Cright%5D%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_HI%2C%20A_LO%2C%20BP_HI%2C%20BP_LO%2C%20CONCS_mM%2C%20FRACS%2C%20L_UM%2C%20WL%2C%20absorbance%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%0A%20%20%20%20HEIGHTS%20%3D%20np.array(%5B30%2C%2040%2C%2050%2C%2070%2C%2090%2C%20120%2C%20150%2C%20200%5D%2C%20dtype%3Dfloat)%20%20%23%20%C2%B5m%0A%0A%20%20%20%20%23%20Wavelength%20grid%20with%20exact%20endpoints%20at%20bandpass%20boundaries%0A%20%20%20%20_mask%20%20%20%20%20%3D%20(WL%20%3E%20BP_LO)%20%26%20(WL%20%3C%20BP_HI)%0A%20%20%20%20_wl_full%20%20%3D%20np.concatenate(%5B%5BBP_LO%5D%2C%20WL%5B_mask%5D%2C%20%5BBP_HI%5D%5D)%0A%20%20%20%20_abs_full%20%3D%20np.concatenate(%5B%5BA_LO%5D%2C%20%20absorbance%5B_mask%5D%2C%20%5BA_HI%5D%5D)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Polychromatic%20A_meas%20for%20each%20(height%2C%20concentration)%20pair%0A%20%20%20%20A_meas_table%20%3D%20np.zeros((len(HEIGHTS)%2C%20len(FRACS)))%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_h%20in%20enumerate(HEIGHTS)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_j%2C%20_f%20in%20enumerate(FRACS)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_Tp%20%3D%20np.trapezoid(10**(-((_f%20*%20_h%20%2F%20L_UM)%20*%20_abs_full))%2C%20_wl_full)%20%2F%20(BP_HI%20-%20BP_LO)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A_meas_table%5B_i%2C%20_j%5D%20%3D%20-np.log10(_Tp)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Display%20as%20table%0A%20%20%20%20_conc_hdrs%20%3D%20%5Bf%22f%3D1%2F%7Bint(round(1%2F_f))%7D%20%20(%7B_c%3A.3f%7D%20mM)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_f%2C%20_c%20in%20zip(FRACS%2C%20CONCS_mM)%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_h%20in%20enumerate(HEIGHTS)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_row%20%3D%20%7B%22Height%20(%C2%B5m)%22%3A%20int(_h)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_j%2C%20_hdr%20in%20enumerate(_conc_hdrs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_row%5B_hdr%5D%20%3D%20f%22%7BA_meas_table%5B_i%2C%20_j%5D%3A.4f%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(_row)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.table(_rows%2C%20label%3D%22Polychromatic%20A_meas%22)%0A%20%20%20%20return%20A_meas_table%2C%20HEIGHTS%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Estimated%20channel%20height%20from%20polychromatic%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%24%0A%0A%20%20%20%20Invert%20Beer-Lambert%20using%20%24%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Beff%7D(f)%24%20calibrated%20from%20the%2080%20%C2%B5m%0A%20%20%20%20capillary%20measurement%20at%20each%20concentration%20fraction%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24h_%5Ctext%7Best%7D(f%2C%20%5Cell)%20%3D%20%5Cfrac%7BA_%5Ctext%7Bmeas%7D(f%2C%20%5Cell)%7D%7B%5Cvarepsilon_%5Ctext%7Beff%7D(f)%5Ccdot%20c(f)%7D%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20error%20arises%20because%20the%20polychromatic%20suppression%20of%20%24A_%5Ctext%7Bmeas%7D%24%20depends%20on%0A%20%20%20%20the%20product%20%24%5Cvarepsilon%20c%20%5Cell%24%3A%20at%20heights%20larger%20than%20the%2080%20%C2%B5m%20calibration%20the%0A%20%20%20%20suppression%20is%20stronger%2C%20so%20%24h_%5Ctext%7Best%7D%24%20underestimates%20the%20true%20height%3B%20at%20smaller%0A%20%20%20%20heights%20the%20suppression%20is%20weaker%2C%20so%20%24h_%5Ctext%7Best%7D%24%20overestimates.%0A%0A%20%20%20%20Each%20cell%20shows%3A%20**estimated%20height%20(%C2%B5m)**%20and%20**(%25%20error%20vs.%20true%20height)**.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(A_meas_table%2C%20CONCS%2C%20CONCS_mM%2C%20FRACS%2C%20HEIGHTS%2C%20eps_eff_arr%2C%20mo%2C%20np)%3A%0A%0A%20%20%20%20%23%20h_est%20%3D%20A_meas%20%2F%20(eps_eff(f)%20*%20c(f))%3B%20units%3A%20(1)%20%2F%20(L%2Fmol%2Fum%20*%20mol%2FL)%20%3D%20um%0A%20%20%20%20h_est_table%20%3D%20A_meas_table%20%2F%20(eps_eff_arr%5Bnp.newaxis%2C%20%3A%5D%20*%20CONCS%5Bnp.newaxis%2C%20%3A%5D)%0A%20%20%20%20h_err_pct%20%20%20%3D%20(h_est_table%20-%20HEIGHTS%5B%3A%2C%20np.newaxis%5D)%20%2F%20HEIGHTS%5B%3A%2C%20np.newaxis%5D%20*%20100%0A%0A%20%20%20%20_conc_hdrs%20%3D%20%5Bf%22f%3D1%2F%7Bint(round(1%2F_f))%7D%20%20(%7B_c%3A.3f%7D%20mM)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_f%2C%20_c%20in%20zip(FRACS%2C%20CONCS_mM)%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_i%2C%20_h%20in%20enumerate(HEIGHTS)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_row%20%3D%20%7B%22True%20h%20(%C2%B5m)%22%3A%20int(_h)%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_j%2C%20_hdr%20in%20enumerate(_conc_hdrs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_row%5B_hdr%5D%20%3D%20f%22%7Bh_est_table%5B_i%2C%20_j%5D%3A.1f%7D%20%20(%7Bh_err_pct%5B_i%2C%20_j%5D%3A%2B.1f%7D%25)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(_row)%0A%0A%20%20%20%20mo.ui.table(_rows%2C%20label%3D%22Estimated%20channel%20height%20(%C2%B5m)%20%20%C2%B7%20%20(%25%20error%20vs.%20true%20height)%22)%0A%20%20%20%20return%20h_err_pct%2C%20h_est_table%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(HEIGHTS%2C%20h_err_pct%2C%20h_est_table%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%0A%20%20%20%20_frac_labels%20%3D%20%5B%22f%3D1%2F8%22%2C%20%22f%3D1%2F4%22%2C%20%22f%3D1%2F2%22%2C%20%22f%3D1%2F1%22%5D%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20plt.cm.plasma(np.linspace(0.15%2C%200.85%2C%204))%0A%0A%20%20%20%20fig5%2C%20(_ax1%2C%20_ax2)%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13%2C%205)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Left%3A%20estimated%20vs.%20true%20height%0A%20%20%20%20_ax1.plot(%5BHEIGHTS%5B0%5D%2C%20HEIGHTS%5B-1%5D%5D%2C%20%5BHEIGHTS%5B0%5D%2C%20HEIGHTS%5B-1%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22k--%22%2C%20lw%3D1%2C%20label%3D%22ideal%20(h_est%20%3D%20h_true)%22)%0A%20%20%20%20for%20_j%2C%20(_lbl%2C%20_col)%20in%20enumerate(zip(_frac_labels%2C%20_colors))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax1.plot(HEIGHTS%2C%20h_est_table%5B%3A%2C%20_j%5D%2C%20%22o-%22%2C%20color%3D_col%2C%20lw%3D1.8%2C%20ms%3D6%2C%20label%3D_lbl)%0A%20%20%20%20_ax1.set_xlabel(%22True%20channel%20height%20(%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_ylabel(%22Estimated%20height%20(%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20_ax1.set_title(%22Estimated%20vs.%20true%20channel%20height%22)%0A%20%20%20%20_ax1.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax1.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20%23%20Right%3A%20percent%20error%20vs.%20true%20height%0A%20%20%20%20_ax2.axhline(0%2C%20color%3D%22k%22%2C%20lw%3D1%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20_ax2.axvline(80%2C%20color%3D%22gray%22%2C%20lw%3D0.8%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20label%3D%22calibration%20height%20(80%20%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20for%20_j%2C%20(_lbl%2C%20_col)%20in%20enumerate(zip(_frac_labels%2C%20_colors))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax2.plot(HEIGHTS%2C%20h_err_pct%5B%3A%2C%20_j%5D%2C%20%22o-%22%2C%20color%3D_col%2C%20lw%3D1.8%2C%20ms%3D6%2C%20label%3D_lbl)%0A%20%20%20%20_ax2.set_xlabel(%22True%20channel%20height%20(%C2%B5m)%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_ylabel(%22Height%20error%20(%25)%22)%0A%20%20%20%20_ax2.set_title(r%22Height%20estimation%20error%20%20(%24h_%5Cmathrm%7Best%7D%20-%20h_%5Cmathrm%7Btrue%7D%24)%20%2F%20%24h_%5Cmathrm%7Btrue%7D%24%22)%0A%20%20%20%20_ax2.legend(fontsize%3D9)%0A%20%20%20%20_ax2.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%0A%20%20%20%20fig5.suptitle(%22Polychromatic%20Beer-Lambert%20height%20estimation%20error%22%2C%20fontsize%3D11)%0A%20%20%20%20fig5%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A