buffer-titration-tutorial

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Titration%20of%20Aqueous%20Buffers%0A%0A%20%20%20%20Welcome!%20This%20interactive%20notebook%20explores%20the%20titration%20of%20aqueous%20buffers.%20Before%20diving%20into%20the%20interactive%20models%2C%20let's%20establish%20the%20foundational%20concepts%20and%20why%20they%20matter%20in%20engineering.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Foundational%20Concepts%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20What%20is%20a%20Titration%3F%0A%20%20%20%20A%20**titration**%20is%20a%20quantitative%20analytical%20technique%20used%20to%20determine%20the%20unknown%20concentration%20of%20a%20known%20substance%20(the%20*analyte*)%20by%20slowly%20adding%20a%20solution%20of%20known%20concentration%20(the%20*titrant*)%20until%20the%20chemical%20reaction%20between%20the%20two%20is%20complete.%0A%20%20%20%20-%20**Engineering%20Relevance**%3A%20Titration%20is%20fundamental%20in%20chemical%20process%20control%2C%20quality%20assurance%20in%20manufacturing%2C%20and%20environmental%20monitoring%20(e.g.%2C%20measuring%20acidity%20or%20alkalinity%20in%20municipal%20wastewater%20treatment).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20What%20is%20an%20Aqueous%20Buffer%3F%0A%20%20%20%20A%20**buffer**%20is%20a%20solution%20that%20resists%20significant%20changes%20in%20pH%20when%20small%20amounts%20of%20strong%20acid%20or%20strong%20base%20are%20added.%20It%20is%20typically%20composed%20of%20a%20weak%20acid%20and%20a%20**soluble%20salt%20containing%20its%20conjugate%20base**%20(e.g.%2C%20acetic%20acid%20and%20sodium%20acetate).%20Because%20the%20salt%20completely%20dissociates%20in%20water%2C%20it%20provides%20a%20high%2C%20ready%20supply%20of%20the%20conjugate%20base%20anion%2C%20while%20the%20weak%20acid%20provides%20a%20reserve%20of%20protons.%0A%20%20%20%20-%20**Engineering%20Relevance**%3A%20Buffers%20are%20critical%20in%20bioreactors%20(maintaining%20optimal%20pH%20for%20microbial%20or%20cell%20growth)%2C%20chemical%20synthesis%20(preventing%20unwanted%20side%20reactions%20that%20are%20pH-sensitive)%2C%20and%20materials%20engineering%20(preventing%20corrosion%20by%20stabilizing%20the%20pH%20of%20cooling%20water%20systems).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Key%20Concepts%20of%20the%20Titration%20Curve%0A%20%20%20%201.%20**Buffer%20Region**%3A%20The%20range%20where%20pH%20changes%20minimally%20upon%20addition%20of%20acid%20or%20base.%20Governed%20by%20the%20Henderson-Hasselbalch%20equation%3A%20%24%5Ctext%7BpH%7D%20%3D%20%5Ctext%7Bp%7DK_a%20%2B%20%5Clog%5Cleft(%5Cfrac%7B%5B%5Ctext%7BA%7D%5E-%5D%7D%7B%5B%5Ctext%7BHA%7D%5D%7D%5Cright)%24%0A%20%20%20%202.%20**Half-Equivalence%20Point**%3A%20Where%20%24%5B%5Ctext%7BA%7D%5E-%5D%20%3D%20%5B%5Ctext%7BHA%7D%5D%24%2C%20so%20%24%5Ctext%7BpH%7D%20%3D%20%5Ctext%7Bp%7DK_a%24.%20This%20is%20the%20point%20of%20maximum%20buffering%20capacity.%0A%20%20%20%203.%20**Equivalence%20Point**%3A%20Moles%20of%20added%20base%20equal%20initial%20moles%20of%20weak%20acid.%20The%20pH%20is%20determined%20by%20the%20hydrolysis%20of%20the%20resulting%20species.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Weak%20Acid%20Titrated%20with%20a%20Strong%20Base%0A%0A%20%20%20%20To%20see%20how%20these%20concepts%20apply%20in%20practice%2C%20let's%20look%20at%20classic%20strong-base%20titrations.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%20A%3A%20The%20Acetic%20Acid%2FAcetate%20Buffer%0A%20%20%20%20Imagine%20a%20solution%20containing%200.1%20M%20acetic%20acid%20(%24%5Ctext%7BCH%7D_3%5Ctext%7BCOOH%7D%24)%20and%200.1%20M%20sodium%20acetate%20(%24%5Ctext%7BCH%7D_3%5Ctext%7BCOONa%7D%24).%0A%20%20%20%20-%20**How%20it%20works**%3A%20The%20sodium%20acetate%20completely%20dissociates%2C%20flooding%20the%20solution%20with%20acetate%20ions%20(%24%5Ctext%7BCH%7D_3%5Ctext%7BCOO%7D%5E-%24).%20If%20you%20add%20a%20strong%20acid%20(like%20%24%5Ctext%7BHCl%7D%24)%2C%20the%20%24%5Ctext%7BH%7D%5E%2B%24%20ions%20are%20immediately%20%22mopped%20up%22%20by%20the%20acetate%20to%20form%20more%20weak%20acetic%20acid.%20The%20pH%20barely%20drops.%0A%20%20%20%20-%20**The%20Math**%3A%20Since%20%24%5B%5Ctext%7Bacid%7D%5D%20%3D%20%5B%5Ctext%7Bbase%7D%5D%24%2C%20the%20Henderson-Hasselbalch%20equation%20simplifies%20to%20%24%5Ctext%7BpH%7D%20%3D%20%5Ctext%7Bp%7DK_a%24.%20For%20acetic%20acid%2C%20this%20buffer%20naturally%20sits%20at%20a%20pH%20of%204.76.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%20B%3A%20Titrating%20Household%20Vinegar%20with%20NaOH%0A%20%20%20%20Household%20vinegar%20is%20roughly%20a%200.8%20M%20solution%20of%20acetic%20acid.%20If%20an%20environmental%20engineer%20needs%20to%20verify%20its%20exact%20concentration%2C%20they%20can%20titrate%20it%20with%20a%20standardized%20sodium%20hydroxide%20(%24%5Ctext%7BNaOH%7D%24)%20solution.%0A%20%20%20%201.%20**Initial%20State**%3A%20The%20pH%20starts%20around%202.4%20(governed%20by%20the%20weak%20acid%20dissociation).%0A%20%20%20%202.%20**Buffer%20Region**%3A%20As%20%24%5Ctext%7BNaOH%7D%24%20is%20added%2C%20it%20converts%20acetic%20acid%20into%20sodium%20acetate.%20The%20solution%20effectively%20*becomes*%20the%20acetic%20acid%2Facetate%20buffer%20described%20in%20Example%20A%2C%20and%20the%20pH%20rises%20very%20slowly.%0A%20%20%20%203.%20**Equivalence%20Point**%3A%20Once%20all%20the%20acetic%20acid%20is%20converted%20to%20acetate%2C%20the%20next%20drop%20of%20%24%5Ctext%7BNaOH%7D%24%20causes%20a%20massive%20pH%20spike.%20Because%20the%20solution%20now%20contains%20only%20the%20weak%20base%20acetate%2C%20the%20equivalence%20point%20pH%20will%20be%20slightly%20basic%20(around%208.7)%2C%20*not*%20exactly%207.0.%20This%20perfectly%20illustrates%20the%20hydrolysis%20concept.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Interactive%20Simulation%3A%20Weak%20Acid%20%2F%20Strong%20Base%0A%20%20%20%20Adjust%20the%20parameters%20below%20to%20see%20how%20concentration%20and%20acid%20strength%20affect%20the%20strong-base%20titration%20curve.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20sb_initial_conc%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.01%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.1%2C%20label%3D%22Initial%20%5BHA%5D%20(M)%22)%0A%20%20%20%20sb_initial_vol%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D10.0%2C%20stop%3D100.0%2C%20step%3D5.0%2C%20value%3D50.0%2C%20label%3D%22Initial%20Volume%20HA%20(mL)%22)%0A%20%20%20%20sb_titrant_conc%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.01%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.1%2C%20label%3D%22Strong%20Base%20%5BOH%E2%81%BB%5D%20(M)%22)%0A%20%20%20%20sb_pka%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D2.0%2C%20stop%3D10.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D4.76%2C%20label%3D%22pK%E2%82%90%20of%20Weak%20Acid%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Titration%20Parameters%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsb_initial_conc%2C%20sb_initial_vol%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bsb_titrant_conc%2C%20sb_pka%5D)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20sb_initial_conc%2C%20sb_initial_vol%2C%20sb_pka%2C%20sb_titrant_conc%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20calc_strong_base_titration(C_HA%2C%20V_HA%2C%20C_OH%2C%20Ka%2C%20Kw%2C%20pka_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_HA%20%3D%20C_HA%20*%20V_HA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_eq%20%3D%20n_HA%20%2F%20C_OH%20*%201000.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_OH%20%3D%20np.linspace(0%2C%201.5%20*%20V_eq%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pH_vals%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20v%20in%20V_OH%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20v_L%20%3D%20v%20%2F%201000.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_OH%20%3D%20C_OH%20*%20v_L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20n_OH%20%3C%20n_HA%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_HA_rem%20%3D%20n_HA%20-%20n_OH%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20n_A%20%3D%20n_OH%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20n_A%20%3E%200%20and%20n_HA_rem%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pH%20%3D%20pka_val%20%2B%20np.log10(n_A%20%2F%20n_HA_rem)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20H%20%3D%20np.sqrt(Ka%20*%20C_HA)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pH%20%3D%20-np.log10(H)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20np.isclose(n_OH%2C%20n_HA%2C%20rtol%3D1e-5)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V_tot%20%3D%20V_HA%20%2B%20v_L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_A%20%3D%20n_HA%20%2F%20V_tot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Kb%20%3D%20Kw%20%2F%20Ka%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20OH%20%3D%20np.sqrt(Kb%20*%20C_A)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pH%20%3D%2014.0%20%2B%20np.log10(OH)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V_tot%20%3D%20V_HA%20%2B%20v_L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20OH_ex%20%3D%20(n_OH%20-%20n_HA)%20%2F%20V_tot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pH%20%3D%2014.0%20%2B%20np.log10(OH_ex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pH_vals.append(pH)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%205))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(V_OH%2C%20pH_vals%2C%20'b-'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'Titration%20Curve')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(V_eq%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3Df'Eq.%20Point%20(%7BV_eq%3A.1f%7D%20mL)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(V_eq%20%2F%202%2C%20color%3D'g'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3Df'Half-Eq.%20(pH%20%3D%20pK%E2%82%90%20%3D%20%7Bpka_val%7D)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel('Volume%20of%20Strong%20Base%20Added%20(mL)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel('pH')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title('Weak%20Acid%20-%20Strong%20Base%20Titration')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylim(0%2C%2014)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20V_eq%2C%20fig%0A%20%20%20%20return%20(calc_strong_base_titration%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20calc_strong_base_titration%2C%0A%20%20%20%20sb_initial_conc%2C%0A%20%20%20%20sb_initial_vol%2C%0A%20%20%20%20sb_pka%2C%0A%20%20%20%20sb_titrant_conc%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20sb_V_eq%2C%20sb_fig%20%3D%20calc_strong_base_titration(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_HA%3Dsb_initial_conc.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_HA%3Dsb_initial_vol.value%20%2F%201000.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_OH%3Dsb_titrant_conc.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ka%3D10**(-sb_pka.value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kw%3D1e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pka_val%3Dsb_pka.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20sb_fig%0A%20%20%20%20return%20(sb_V_eq%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20sb_V_eq)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Analysis%20of%20the%20Strong%20Base%20Curve%0A%20%20%20%20-%20**Initial%20State**%3A%20The%20pH%20is%20determined%20solely%20by%20the%20weak%20acid%20dissociation.%0A%20%20%20%20-%20**Buffer%20Region%20(0%20to%20%7Bsb_V_eq%2F2%3A.1f%7D%20mL)**%3A%20The%20solution%20resists%20pH%20changes.%20The%20slope%20is%20shallowest%20near%20the%20half-equivalence%20point.%0A%20%20%20%20-%20**Equivalence%20Point%20(%7Bsb_V_eq%3A.1f%7D%20mL)**%3A%20All%20weak%20acid%20is%20converted%20to%20its%20conjugate%20base.%20The%20pH%20is%20%3E%207%20due%20to%20conjugate%20base%20hydrolysis.%0A%20%20%20%20-%20**Post-Equivalence**%3A%20The%20pH%20is%20dominated%20by%20the%20excess%20strong%20base%2C%20rising%20sharply%20and%20then%20leveling%20off.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A