weak-acid-weak-base-titration

import%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.17.6%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Weak%20Acid%20%2F%20Weak%20Base%20Titrations%0A%0A%20%20%20%20Welcome!%20This%20interactive%20notebook%20focuses%20exclusively%20on%20the%20titration%20of%20a%20weak%20acid%20with%20a%20weak%20base.%20This%20scenario%20is%20critical%20in%20specialized%20biochemical%20and%20pharmaceutical%20applications%20where%20gentle%2C%20self-regulating%20pH%20changes%20are%20required.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Foundational%20Concepts%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20Titrate%20with%20a%20Weak%20Base%3F%0A%20%20%20%20In%20sensitive%20biological%20systems%2C%20adding%20a%20strong%20base%20(like%20%24%5Ctext%7BNaOH%7D%24)%20can%20cause%20dangerous%2C%20localized%20high-pH%20spikes%20that%20denature%20proteins%20or%20trigger%20unwanted%20side%20reactions.%0A%0A%20%20%20%20Using%20a%20weak%20base%20like%20ammonia%20(%24%5Ctext%7BNH%7D_3%24)%20provides%20a%20much%20gentler%2C%20self-regulating%20titration%20because%20the%20base%20does%20not%20fully%20dissociate%20to%20flood%20the%20solution%20with%20%24%5Ctext%7BOH%7D%5E-%24%20ions.%20The%20trade-off%20is%20that%20the%20equivalence%20point%20is%20much%20less%20sharp%20than%20a%20strong-base%20titration%2C%20requiring%20careful%20monitoring.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Real-World%20Examples%20of%20Weak%2FWeak%20Titrations%0A%0A%20%20%20%20In%20specialized%20applications%2C%20titrating%20with%20a%20weak%20base%20is%20preferred%20over%20a%20strong%20base%20to%20avoid%20localized%20high-pH%20spikes%20that%20can%20denature%20proteins%20or%20trigger%20unwanted%20side%20reactions.%20A%20weak%20base%20(like%20%24%5Ctext%7BNH%7D_3%24)%20provides%20a%20gentler%2C%20self-regulating%20titration%2C%20though%20the%20equivalence%20point%20is%20much%20less%20sharp.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%201%3A%20Titrating%20HEPES%20with%20Ammonia%20(%24%5Ctext%7BNH%7D_3%24)%0A%20%20%20%20In%20biochemical%20engineering%20and%20cell%20culture%2C%20maintaining%20a%20stable%20physiological%20pH%20is%20critical.%20**HEPES**%20(chemical%20formula%3A%20%24%5Ctext%7BC%7D_8%5Ctext%7BH%7D_%7B18%7D%5Ctext%7BN%7D_2%5Ctext%7BO%7D_4%5Ctext%7BS%7D%24%3B%20chemically%20known%20as%20*4-(2-hydroxyethyl)-1-piperazineethanesulfonic%20acid*)%20is%20a%20%22Good's%20buffer%22%20widely%20used%20for%20this%20purpose.%0A%0A%20%20%20%20The%20active%20buffer%20system%20comprises%20two%20components%3A%20the%20weak%20acid%20(HEPES%20free%20acid)%20and%20its%20conjugate%20base%20(the%20deprotonated%20**zwitterion**%2C%20often%20pre-mixed%20and%20supplied%20as%20a%20sodium%20salt%2C%20e.g.%2C%20sodium%20HEPES).%0A%0A%20%20%20%20*A%20**zwitterion**%20is%20a%20molecule%20that%20contains%20both%20a%20formal%20positive%20charge%20and%20a%20formal%20negative%20charge%20on%20different%20parts%20of%20the%20same%20molecule%2C%20making%20it%20overall%20electrically%20neutral.%20This%20dual-charge%20structure%20makes%20HEPES%20highly%20water-soluble%20but%20prevents%20it%20from%20crossing%20lipid%20cell%20membranes%E2%80%94a%20key%20requirement%20for%20intracellular%20pH%20stability.*%0A%0A%20%20%20%20HEPES%20is%20favored%20because%20it%20has%20a%20%24%5Ctext%7Bp%7DK_a%24%20of%20approximately%207.5%20at%2025%C2%B0C%2C%20placing%20it%20perfectly%20in%20the%20physiological%20range.%20When%20titrating%20the%20free%20acid%20form%20of%20HEPES%20with%20aqueous%20ammonia%20(%24%5Ctext%7BNH%7D_3%24%2C%20%24%5Ctext%7Bp%7DK_b%20%5Capprox%204.75%24)%2C%20the%20%24%5Ctext%7BNH%7D_3%24%20gently%20accepts%20protons%20from%20HEPES%2C%20forming%20the%20active%20buffering%20zwitterion%20and%20ammonium%20(%24%5Ctext%7BNH%7D_4%5E%2B%24).%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Example%202%3A%20Titrating%20Phosphate%20Buffer%20(PBS)%20with%20Ammonia%20(%24%5Ctext%7BNH%7D_3%24)%0A%20%20%20%20**Phosphate-Buffered%20Saline%20(PBS)**%20is%20perhaps%20the%20most%20ubiquitous%20buffer%20in%20molecular%20biology%2C%20typically%20maintained%20at%20pH%207.4.%20The%20active%20buffering%20pair%20in%20PBS%20near%20physiological%20pH%20consists%20of%20dihydrogen%20phosphate%20(%24%5Ctext%7BH%7D_2%5Ctext%7BPO%7D_4%5E-%24%2C%20the%20weak%20acid)%20and%20hydrogen%20phosphate%20(%24%5Ctext%7BHPO%7D_4%5E%7B2-%7D%24%2C%20the%20conjugate%20base).%0A%20%20%20%20-%20**The%20Chemistry**%3A%20The%20%24%5Ctext%7Bp%7DK_a%24%20of%20%24%5Ctext%7BH%7D_2%5Ctext%7BPO%7D_4%5E-%24%20is%20approximately%207.2.%20If%20you%20were%20to%20titrate%20the%20acidic%20form%20(%24%5Ctext%7BH%7D_2%5Ctext%7BPO%7D_4%5E-%24)%20with%20a%20weak%20base%20like%20ammonia%2C%20the%20%24%5Ctext%7BNH%7D_3%24%20molecules%20would%20gently%20strip%20protons%20to%20form%20more%20%24%5Ctext%7BHPO%7D_4%5E%7B2-%7D%24%20and%20%24%5Ctext%7BNH%7D_4%5E%2B%24.%0A%20%20%20%20-%20**Engineering%20Relevance**%3A%20Unlike%20synthetic%20organic%20buffers%20(like%20HEPES)%2C%20phosphate%20is%20a%20naturally%20occurring%20biological%20ion.%20However%2C%20phosphate%20can%20precipitate%20with%20divalent%20cations%20(like%20%24%5Ctext%7BCa%7D%5E%7B2%2B%7D%24%20or%20%24%5Ctext%7BMg%7D%5E%7B2%2B%7D%24)%2C%20which%20is%20why%20HEPES%20is%20often%20preferred%20in%20cell%20culture%20media.%20Nevertheless%2C%20understanding%20how%20weak%20bases%20interact%20with%20the%20phosphate%20system%20is%20foundational%20for%20formulating%20stable%20injectable%20pharmaceuticals%20and%20diagnostic%20reagents.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Interactive%20Simulation%3A%20Weak%20Acid%20%2F%20Weak%20Base%0A%0A%20%20%20%20Adjust%20the%20parameters%20below%20to%20see%20how%20the%20titration%20curve%20changes%20when%20both%20the%20analyte%20and%20the%20titrant%20are%20weak.%20Notice%20how%20much%20less%20sharp%20the%20equivalence%20point%20becomes%20compared%20to%20strong-base%20titrations!%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20wb_initial_conc%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.01%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.1%2C%20label%3D%22Initial%20%5BHA%5D%20(M)%22)%0A%20%20%20%20wb_initial_vol%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D10.0%2C%20stop%3D100.0%2C%20step%3D5.0%2C%20value%3D50.0%2C%20label%3D%22Initial%20Volume%20HA%20(mL)%22)%0A%20%20%20%20wb_titrant_conc%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0.01%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.1%2C%20label%3D%22Weak%20Base%20%5BB%5D%20(M)%22)%0A%20%20%20%20wb_wa_pka%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D2.0%2C%20stop%3D10.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D7.5%2C%20label%3D%22pK%E2%82%90%20of%20Weak%20Acid%22)%0A%20%20%20%20wb_wb_pkb%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D2.0%2C%20stop%3D10.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D4.75%2C%20label%3D%22pK_b%20of%20Weak%20Base%22)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Titration%20Parameters%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bwb_initial_conc%2C%20wb_initial_vol%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%5Bwb_titrant_conc%2C%20wb_wa_pka%2C%20wb_wb_pkb%5D)%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wb_initial_conc%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wb_initial_vol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wb_titrant_conc%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wb_wa_pka%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wb_wb_pkb%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20def%20calc_weak_base_titration(C_HA%2C%20V_HA%2C%20C_B%2C%20Ka%2C%20Kb%2C%20Kw%2C%20pka_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20n_HA%20%3D%20C_HA%20*%20V_HA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_eq%20%3D%20n_HA%20%2F%20C_B%20*%201000.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ka_BH%20%3D%20Kw%20%2F%20Kb%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_B%20%3D%20np.linspace(0%2C%201.5%20*%20V_eq%2C%20500)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pH_vals%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20v%20in%20V_B%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20v_L%20%3D%20v%20%2F%201000.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20v_L%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20H%20%3D%20np.sqrt(Ka%20*%20C_HA)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pH_vals.append(-np.log10(H))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20V_tot%20%3D%20V_HA%20%2B%20v_L%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Ca_tot%20%3D%20(C_HA%20*%20V_HA)%20%2F%20V_tot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Cb_tot%20%3D%20(C_B%20*%20v_L)%20%2F%20V_tot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20f(H_val)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20H_val%20%2B%20(H_val%20%2F%20(H_val%20%2B%20Ka_BH))%20*%20Cb_tot%20-%20(Kw%20%2F%20H_val)%20-%20(Ka%20%2F%20(H_val%20%2B%20Ka))%20*%20Ca_tot%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20H_low%2C%20H_high%20%3D%201e-14%2C%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_%20in%20range(100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20H_mid%20%3D%20(H_low%20%2B%20H_high)%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20f(H_mid)%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20H_high%20%3D%20H_mid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20H_low%20%3D%20H_mid%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pH_vals.append(-np.log10(H_mid))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fig%2C%20ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8%2C%205))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.plot(V_B%2C%20pH_vals%2C%20'purple'%2C%20linewidth%3D2%2C%20label%3D'Titration%20Curve')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(V_eq%2C%20color%3D'r'%2C%20linestyle%3D'--'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3Df'Eq.%20Point%20(%7BV_eq%3A.1f%7D%20mL)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.axvline(V_eq%20%2F%202%2C%20color%3D'g'%2C%20linestyle%3D'%3A'%2C%20alpha%3D0.7%2C%20label%3Df'Half-Eq.%20(pH%20%E2%89%88%20pK%E2%82%90%20%3D%20%7Bpka_val%7D)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_xlabel('Volume%20of%20Weak%20Base%20Added%20(mL)')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylabel('pH')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_title('Weak%20Acid%20-%20Weak%20Base%20Titration')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.legend()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.grid(True%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ax.set_ylim(0%2C%2014)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20V_eq%2C%20fig%0A%20%20%20%20return%20(calc_weak_base_titration%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20calc_weak_base_titration%2C%0A%20%20%20%20wb_initial_conc%2C%0A%20%20%20%20wb_initial_vol%2C%0A%20%20%20%20wb_titrant_conc%2C%0A%20%20%20%20wb_wa_pka%2C%0A%20%20%20%20wb_wb_pkb%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20wb_V_eq%2C%20wb_fig%20%3D%20calc_weak_base_titration(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_HA%3Dwb_initial_conc.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20V_HA%3Dwb_initial_vol.value%20%2F%201000.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_B%3Dwb_titrant_conc.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ka%3D10**(-wb_wa_pka.value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kb%3D10**(-wb_wb_pkb.value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Kw%3D1e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pka_val%3Dwb_wa_pka.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20wb_fig%0A%20%20%20%20return%20(wb_V_eq%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20wb_V_eq)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Analysis%20of%20the%20Weak%20Base%20Curve%0A%20%20%20%20-%20**Initial%20State**%3A%20Governed%20by%20weak%20acid%20dissociation%2C%20identical%20to%20the%20strong%20base%20case.%0A%20%20%20%20-%20**Buffer%20Region%20(0%20to%20%7Bwb_V_eq%2F2%3A.1f%7D%20mL)**%3A%20The%20solution%20still%20resists%20pH%20changes%2C%20but%20the%20curve%20may%20be%20slightly%20less%20flat%20than%20with%20a%20strong%20base.%0A%20%20%20%20-%20**Equivalence%20Point%20(%7Bwb_V_eq%3A.1f%7D%20mL)**%3A%20The%20pH%20at%20equivalence%20is%20determined%20by%20the%20relative%20strengths%20of%20the%20weak%20acid%20and%20weak%20base.%20If%20%24%5C%5Ctext%7B%7Bp%7D%7DK_a%20%5C%5Capprox%20%5C%5Ctext%7B%7Bp%7D%7DK_b%24%2C%20the%20pH%20will%20be%20near%207.0.%20%0A%20%20%20%20-%20**Post-Equivalence**%3A%20The%20pH%20rise%20is%20**much%20more%20gradual**%20than%20with%20a%20strong%20base.%20There%20is%20no%20massive%20vertical%20spike%20because%20the%20weak%20base%20does%20not%20fully%20dissociate%20to%20flood%20the%20solution%20with%20%24%5C%5Ctext%7B%7BOH%7D%7D%5E-%24%20ions.%20This%20gentler%20curve%20is%20exactly%20why%20weak%20bases%20are%20chosen%20for%20sensitive%20biological%20systems%2C%20though%20it%20makes%20detecting%20the%20exact%20equivalence%20point%20more%20challenging.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A